【知识点】初中数学必背公式推导(1)

等比数列求和公式推导过程

等比数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列，常用G、P表示。下面为大家带来了等比数列求和公式推导过程，欢迎大家参考！ #

等比数列求和公式推导过程 #

求和公式推导

(1)Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)

(2)q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+an+a(n+1) #

(3)Sn-q*Sn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)

(4)a(n+1)=a1*q^n

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(5)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)(q≠1) #

性质 #

①若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq;

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②在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列; #

③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)^2; #

④若G是a、b的等比中项，则G^2=ab(G≠0);

⑤在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。

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⑥在数列{an}中每隔k(k∈N*)取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为q^k+1。

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⑦数列{An}是等比数列，An=pn+q，则An+K=pn+K也是等比数列，在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。注意：上述公式中A^n表示A的n次方。 #

⑧当数列{an}使各项都为正数的等比数列，数列{lgan}是lgq的等差数列。 #

拓展：高中等比数列公式

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如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。

(1)等比数列的通项公式是：An=A1×q^(n-1) #

若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时，则可把an看作自变量n的函数，点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的`一群孤立的点。

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(2) 任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m) #

(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…,n}

(4)等比中项：aq·ap=ar^2，ar则为ap，aq等比中项。 #

(5) 等比求和：Sn=a1+a2+a3+.......+an

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①当q≠1时等差数列求和公式推导，Sn=a1(1-q^n)/(1-q)或Sn=(a1-an×q)÷(1-q) #

②当q=1时， Sn=n×a1(q=1) #

记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1

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另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之，以任一个正数C为底等差数列求和公式推导，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

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