导数的基本公式与运算法则基本初等函数的导数公式

1、导数的基本公式与运算法则行列式的基本公式与运算法则基本初等函数的求导公式基本初等函数的求导公式(x)=x--1.(ax)=axlna.(ex)=ex.0(cc为任意常数).ln1)(.1)(lnxx(sinx)=cosx.(cosx)=--sinx.(tanx)==sec2x.(cotx)==--csc2x.(secx)==secxtanx.(cscx)==--cscxcotx.,11)(--另外还有反三角函数的求导公式：另外还有反三角函数的求导公式：

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2、,11)(---,11)(.11)(2xx--定律定律2.2.1设函数设函数u(x)、v((x))在在x处可导，处可导，)0)()()(在在x处也可导，处也可导，(u(x)v(x)=u(x)v(x);(u(x)v(x)=u(x)v(x)++u(x)v(x);.)()()()()()()(--行列式的四则运算行列式的四则运算且且则它们的和、差、积与商则它们的和、差、积与商结论推测1(cu(x)=cu(x)(c为常数为常数).推导结论

3、2.)()()(--()uvwuvwuvwuvw加法法则的推广：加法法则的推广：补充例题：补充例题：求下述函数的求导：求下述函数的求导：解解依据推测依照结论1可得可得(3x4)=3(x4)，(5cosx)=5(cosx)，(cosx)=--sinx，(ex)=ex，(1)=0，故故f(x)=(3x4--ex+5cosx--1)=(3x4)--((ex))+(5cosx)--(1)=12x3--ex--5sinx.f(0)=(12x3--ex #

4、--5sinx)|x=0=--1又又(x4)=4x3，例例1设设f(x)=3x4ex+5cosx--1，求求f(x)及及f(0).例例2设设y=xlnx，求求y.解解按照加法公式，有按照加法公式，有y=(xlnx)=x(lnx)(x).ln1x解解按照乘法公式，有按照乘法公式，有22222)1()1()1()1)(1(11--------例例3设设,112--xxy求求y.2222)1()1()1()()1()(1(------x #

5、xxxx.)1(12)1()1(2)1(-----教材教材P32P32例例22求下述函数的求导：求下述函数的求导：3(1)-2(2)xyxe2(3)1xyx-32(4)23解：解：332(1)(cos)()(cos)-2222(2)()()()2(2)exexexex(1)(1)(3)()1(1)-2221(2)(1)xxxx-222)1(1xx-32(4)(2)(3sin)())sin(3)(23-xx #

6、x)cos(-高阶行列式高阶行列式假如可以对函数假如可以对函数f(x)的导函数的导函数f(x)再导数，再导数，所得到的一个新函数，所得到的一个新函数高数导数公式大全，称为函数称为函数y=f(x)的二阶行列式，的二阶行列式，.记作记作f(x)或或y或或如对二阶行列式再导数，则如对二阶行列式再导数，则称三阶行列式，称三阶行列式高数导数公式大全，.记作记作f(x)或或四阶或四阶以上导四阶或四阶以上行列式记为数记为y(4)，y(5)，，y(n),,或或，而把而把f(x)称为称为f(x)的一阶行列式的一阶求导.例例33求下述 #

7、函数的二阶行列式求下述函数的二阶行列式(1)(2)(1)cos(sin)-)cos(-21(2))1()1(xxy-22)1(2xx-解：解：二阶以上的行列式可借助旁边的物理软件来估算二阶以上的行列式可借助旁边的物理软件来估算2.2.4复合函数的导数法则2.2()()(()()()dydyxduuxxyfuuyfuxxx定律若函数在点可导，函数在点处可导，则复合函数在点可导，且或记作：推导结论设设y=f(u)

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8、，u=(v)，v=(x)均均可导，则复合函数可导，则复合函数y=f((x)也可导，也可导，.以上法则说明：复合函数对自变量的行列式等于复合以上法则说明：复合函数对自变量的行列式等于复合函数对中间变量的行列式除以中间变量对自变量的行列式函数对中间变量的行列式除以中间变量对自变量的行列式...1(31);2)sin(2);3)lncos;4);5)-例求下述函数的求导：）(1)(),()31,()3()()3(31)(31)3(31)618(31)yuxuxx #

9、xxxxx解：函数可以分解为(2)2cos(2)(2)1cos(2)2cos(2)-把当成中间变量，(3)(cos)--把当成中间变量，(4)tan()(tan)把当成中间变量，(5)(2)2ln2()2--把当成中间变量，先将要求导的函数分解成基本初等函数先将要求导的函数分解成基本初等函数,或或常数与基本初等函数的和、差、积、商常数与基本初等函数的和、差、积、商.任何初等函数的求导都可以按常数和基本任何初等函数的求导都可以按常数和基本初

10、等函数的导数公式和上述复合函数的导数初等函数的导数公式和上述复合函数的导数法则求出法则求出.复合函数导数的关键复合函数导数的关键:正确分解初等函数正确分解初等函数的复合结构的复合结构.导数方式小结：导数方式小结：23221(1);(2)cos3(3)324lgcos(32)--练习：求下述函数的求导(课堂练习)（）；（）(1)6(1)(2)3ln3(3)(32)sin(32)(4)(32)4tan(32)cos(32)cos(32)---解:例例55：求 #

11、下列函数的求导：求下述函数的求导（1）（2）（3）（4）232-)1ln(2xxy2.2.5隐函数的求导00()yxFxyFxyyyx与的关系由多项式（，）确定，未解出因变量的多项式（，）=所确定的函数称为隐函数6()1.ydyyy例设函数由多项式所确定，求(1)(),()(1)-解：上式两侧对导数，则有即1;2.xyyy隐函数的导数步骤：（）等式两侧对导数，导数过程中把视为中间变量，得到一个富含的方程（）从所得方程中解出227()c #

12、os().dyyy-例设函数由多项式所确定，求sin()()1sin()(22)12sin()2sin()12sin()12sin()12sin()12sin()-解：等式两侧分别对导数，得2()2.dyyy练习：设函数由多项式所确定，求2()()222(2)yy-解：两侧分别对导数，得二元函数的偏行列式的求法二元函数的偏行列式的求法求对自变量(或)的偏行列式时,只须将另一自 #

13、变量(或)看作常数,直接借助一元函数导数公式和四则运算法则进行估算.),(yxfzxyyx例例11设函数设函数324(,)23,fxyxxyy-求求(,),xfxy(,),yfxy(1,1),xf(1,1),yf-解：解：)32(),(2423-)32(),(-)1,1(2-xf14)1(1212)1,1(32-yf例例22设函数设函数求),ln()(解：解：)ln()ln()( #

14、212ln()()()ln()ln()1xxy类似可得类似可得)()ln(ln()1yxy二元函数的二阶偏行列式二元函数的二阶偏行列式函数函数z=f(x,y)的两个偏行列式的两个偏行列式),(),(通常说来一直是通常说来一直是x,y的函数，的函数，假若这两个函数关于倘若这两个函数关于x,y的偏行列式也存在，的偏行列式也存在，则称它们的偏行列式是则称它们的偏行列式是f(x,y)的二阶偏行列式的二阶偏行列式.根据对变量的不同导数顺序，根据对变量的不同 #

15、求导顺序，二阶偏求导有四二阶偏行列式有四个：（用符号表示如下）个：（用符号表示如下）),(yxfxx;xxz2),(yxfxy;xyz2),(yxfyx;yxz),(yxfyy.yyz其中其中及及称为二阶混和偏行列式称为二阶混和偏行列式.),(yxfxy),(yxfyx类似的，可以定义三阶、四阶、类似的，可以定义三阶、四阶、、n阶偏行列式，阶偏行列式，二阶及二阶以上的偏行列式称为高阶偏行列式，二阶及二阶以上的偏行列式称为高阶偏行列式，),(,),(而称为函数称为函数f(x,y)的一阶偏行列式的一阶偏行列式.注：当两个二阶行列式连续时，它们是相等的注：当两个二阶行列式连续时，它们是相等的即即),(yxfxy(,)yxfxy例例,xy设z试求函数的四个二阶偏导函数试求函数的四个二阶偏导函数yxz2xyz思索题一思试题一求曲线求曲线上与上与轴平行轴平行的切线多项式的切线多项式.32xxy--x思索题一解答思索题一解答232xy--令令0y0322--x321x322--x切点为切点为964,32---964,32所求切线多项式为所求切线多项式为964y964--y和和 #