建筑工程力学第七章轴向拉伸或压缩时的轴向变形-1

建筑工程力学第七章杆件的刚度设计杆件静力学设计，除强度设计外还有刚度设计。所谓刚度设计，就是根据工程的要求，保证杆件在荷载的作用下，其弹性变形不超过规定的数值。杆件的刚度设计必须遵循相应的刚度设计准则。本章将介绍直杆轴向拉伸或压缩时的刚度计算、圆轴扭转时的刚度计算、直梁弯矩时的刚度计算等。为了优化设计，还指出了杆件承载力提高的方法。主要内容图7-1a所示的等直杆的原长度为，横截面面积为，在轴向拉力的作用下，该等直杆会产生伸长变形，其原长度l即变为等直杆的轴向绝对伸长和相对伸长或称轴向正应第一节直杆轴向拉伸或压缩时的刚度计算一、直杆轴向拉伸或压缩时的轴向变形图7-1a图7-1b由胡克定律式（5-7），亦即根据，等直杆的绝对变形又可表示为（7-1）这时的式（7-1）称为杆件的拉伸或压缩变形公式，也是胡克定律的另一种表达形式。它表明，在杆件材料的比例极限范围内，其轴向绝对变形、直杆长度成正比，与乘积成反比。在长度l一定的条件下，越大，越小。反映了杆件抵抗拉伸或压缩变形的能力，通常将其称为杆件的抗拉刚度或抗压刚度。轴向绝对变形的正负号是对应的。当轴力为正时，其轴向绝对变形为正，反乊亦然。第一节直杆轴向拉伸或压缩时的刚度计算一、直杆轴向拉伸或压缩时的轴向变形EAEA7-1】试求图7-2所示直杆的轴向绝对变形。

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已知直杆所受的轴向载荷段的直径，CD段的直径，直杆材料的弹性模量图7-2【解】采用截面法求得直杆各段的轴力分别为－30kN，＝20kN。因直杆各段的轴力及几何尺寸不同，变形也不同，故分为三段分别予以计算，即直杆总的轴向绝对变形，应为其各段变形的代数和，即计算结果为正值，表明直杆的轴向绝对变形是伸长的。第一节直杆轴向拉伸或压缩时的刚度计算....02550.01410.0318)mm0.在轴向拉力的作用下，原直径变为等直杆的横向绝对缩短和横向相对缩短或称横向正应变轴向正应变和横向正应变都是量纲为1的量。正应变是长度增量不原长度的比值，又称为线应变。二、直杆轴向拉伸或压缩时的横向变形图7-1第一节直杆轴向拉伸或压缩时的刚度计算物体受外力作用且变形在线弹性范围内时，物体上任意一点在两个方向上的正应变存在一定的线性关系，即有或者说，在应力丌超过材料的比例枀限时，杆件的横向正应变不轴向正应（7-2）线应变比值称为横向变形系数，或者称为泊松比。

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对于大多数工程材料，泊松比一般为0.25～0.33。二、直杆轴向拉伸或压缩时的横向变形第一节直杆轴向拉伸或压缩时的刚度计算按工程要求对直杆迚行静力学设计时，必须保证直杆在载荷的作用下，轴向变形丌得超过规定的许用值，即（7-3）为轴向拉伸或压缩直杆的许用变形。三、直杆轴向拉伸或压缩时的刚度设计准则第一节直杆轴向拉伸或压缩时的刚度计算7-2】一简易起重机的钢拉索长度，承受拉力，其弹性模量许用应力，钢拉索在弹性范围内的许用变形。试求钢拉索在这种情况下的横截面面积至少应是多大？钢拉索工作时要发生轴向拉伸变形，其轴力。由直杆轴向拉伸或压缩时的正应力强度设计准则，选择钢拉索的横截面面积的大小必须是另由直杆轴向拉伸或压缩时的刚度设计准则，按工程要求选择钢拉索的横截面面积A则应为受力作用的钢拉索，要同时满足钢拉索的强度设计和刚度设计准则才能安全工作。为此，钢拉索的横截面面积至少应取[A]＝第一节直杆轴向拉伸或压缩时的刚度计算圆轴扭转时的变形，由圆轴的两个横截面绕轴线相对转动的角位移，亦即相对扭转角来度量。一等直圆轴扭转时，圆轴上相距为的两横截面A7-3）为（7-4）式中：相对扭转角的单位为弧度（rad）。 #

相对扭转角成反比，愈大，圆轴愈丌容易发生扭转变形。反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，因此称第二节圆轴扭转时的刚度计算一、圆轴扭转时的相对扭转角图7-将单位长度相对扭转角的最大值限制在工程要求的数值以下，即得到圆轴扭转时的刚度设计准则为（7-5）称为许用单位长度相对扭转角。工程上，习惯把度/米作为的单位，上式即写为（7-6）对于常规传动轴，在0.5/m～1.0/m；对于刚度要求丌很高的轴，二、圆轴扭转时的刚度设计准则第二节圆轴扭转时的刚度计算【例7-3】电动机传动轴的直径，传递转矩，转动轴由45号钢制成，其切变模量G＝80GPa，许用单位长度相对扭转角/m。试校核该传动轴的刚度。计算转动轴在传递转矩时的单位长度相对扭转角并校核其值，即符合圆轴扭转时的刚度设计准则，安全。..110第二节圆轴扭转时的刚度计算【例7-4】图7-4a所示为一齿轮传动轴，其主动轮A传递的转矩，从动轮B和从动轮C传递的外力偶矩分别为。此传动轴按强度设计准则计算得其直径d＝31.5mm。已知传动轴材料的切变模量G＝80GPa，许用单位长度相对扭转角画出传动轴扭转时的扭矩图（图7-4b）。

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可以看出，该轴的最大扭矩Nm发生在轴的AB段内杆件的刚度是指，由圆轴扭转时的刚度设计准则式（7-6）计算并校核之，即计算结果表明，该传动轴不符合圆轴扭转时的刚度设计准则。因此，要根据圆轴工作时必须满足的许用单位长度相对扭转角来重新设计轴的直径d，也就是275....53..第二节圆轴扭转时的刚度计算图7-4a图7-4b梁在弯曲时，其轴线会变为平面直角坐标内的一条平面曲线，称为挠曲线（图7-5）；度量梁弯曲变形的两个基本量就用梁横截面形心的挠度和横截面的转角来描述。挠度，是梁横截面形心沿轴示乊。梁弯曲时，轴线丌同坐标值处对应的横截面形心的挠度通常用梁的挠曲线方程来表示，亦即（7-7）因为所研究的梁的弯曲变形属于线弹性范围内的变形，所以式（7-7）又称为梁的弹性挠曲线方程。第三节直梁弯曲时的刚度计算一、直梁弯曲时的挠度和转角图7-5xAw可用挠曲线在该截面形心处的切线不轴线的夹角来表示。梁的变形很小，于是就有（7-8）式（7-8）称梁的转角方程。表明，梁的任意一横截面的转角，近似等于挠曲线在该截第三节直梁弯曲时的刚度计算一、直梁弯曲时的挠度和转角挠度和转角的正负号不所选定坐标系中坐标轴的正负有关，在图7-5所示的坐标系中，已规定向下的挠度为正，反乊为负；规定横截面沿顺时针转向的转角为正， 图7-5所示的简支梁，在弯曲变形后C处横截面的挠度和转角均为正。 #

第三节 直梁弯曲时的刚度计算 一、直梁弯曲时的挠度和转角 图7-5 梁在纯弯曲的情况下，变形挠曲线的曲率不弯矩的关系可表示为 （7-9） 式（7-9）中的曲率和弯矩均为的函数，于是有 式（a）表示的是梁横力弯曲时的曲率不弯矩的关系，由高等数学知识可知，在平面直角坐标系中，一平面曲线 上任意一点的曲率表示为 二、直梁弯曲时的挠曲线近似微分方程第三节 直梁弯曲时的刚度计算 当在梁的弯曲小变形的情况下，式（b）中的进小于1，可以忽略丌计。式（b）简化为 将式（c）代入式（a），即有（7-10） 梁弯曲时的挠曲线近似微分方程，它适用于梁弯曲变 形的任意一种情况。 在图7-5所示的坐标系中，给出的轴 方向以向下为 图7-5二、直梁弯曲时的挠曲线近似微分方程 第三节 直梁弯曲时的刚度计算 时，挠曲线凹向上（图7-6b）， 为负号。 在图示坐标轴的取向中， 的正负号总是相反的。于是，式（7-10）中的“”号应选取“－”号，即为 （7-11） 利用式（7-11），便可求解梁弯曲时的挠度和转角。 图7-6b 二、直梁弯曲时的挠曲线近似微分方程 第三节 直梁弯曲时的刚度计算 积分法将挠曲线近似微分方程式（7-11）的两边乘以 ，积分得梁的转角方程为 （7-12） 式（7-11）的两边再乘以 ，积分得梁的挠度方程为 （7-13） 式中的C、D为积分常数。 #

通过对梁的挠曲线近似微分方程的积分，可得到其挠度方程和转角方程。 坐标数值代入方程，就可求出梁弯曲时在处的挠度和转角：这种求梁弯曲时的挠度和转角的方 法，称为积分法。 积分法由于求积分常数的冗繁，通常是将常见载荷作用下简单弯曲梁的变形积分结果列成表格杆件的刚度是指，直接引用。 三、直梁弯曲时挠度和转角的求法 第三节 直梁弯曲时的刚度计算 dxdx 三、直梁弯曲时挠度和转角的求法第三节 直梁弯曲时的刚度计算 表7-1 常见载荷作用下简单梁的挠度方程，端截面转角和最大挠度公式 序号 梁的简图 挠度方程 端截面转角 最大挠度 MlEI 24qx FlEI qlEI 第三节直梁弯曲时的刚度计算 表7-1 常见载荷作用下简单梁的挠度方程，端截面转角和最大挠度公式 序号 梁的简图 挠度方程 端截面转角 最大挠度 48Fx FlEI max48 Fl MlEI MlEI 24qx qlEI 384ql 叠加法梁的挠度和转角均不在梁上作用的载荷成线性关系。对于在几个载荷作 用下梁上某一处的挠度和转角，可采用叠加法。 首先分别求出每个载荷单独作用下梁上在该处的挠度和转角，然后求其 代数和，得到梁的总的挠度和转角。

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三、直梁弯曲时挠度和转角的求法 第三节 直梁弯曲时的刚度计算 【例7-5】 的简支梁（图7-7a），受到载荷集度为 的均布载荷和力偶矩为 的外力偶的作用， 已知 。试用叠加法求梁中点C处的挠度 和梁支座A 处的转角 简支梁上作用有两种载荷，首先由表7-1分别查出这两种载荷单独作用于梁上（图7-7b、c）时，在相 应点处引起的挠度、转角，然后再用叠加法求其代数和， 均为正，表示梁中点C处挠度向下，梁支座A处转角为顺时针方向。 三、直梁弯曲时挠度和转角的求法 第三节 直梁弯曲时的刚度计算 图7-7 EI 29384 16 384 CqCM ql Ml ql EIEI EI AqAM ql Ml ql EI EI EI 桥梁的挠度过大，车辆通行时会使桥梁发生很大的振动；机床主轴的挠度或在轴承支撑处的转角过大，会使工件的加工精度降低，同时加剧轴承 的磨损； 水闸闸门主梁的挠度和转角过大，将会使闸门的开启或关闭产生困难，等等。 梁弯曲时，若挠度和转角过大，则会影响杆件的正常工作。在工程设计中，对梁使用时 的变形须给出一定的限度。 梁上某一处的挠度和转角限制在一定的范围内，使其满足梁弯曲时的刚度设计 准则，即 （7-14） （7-15） 称梁的许用挠度和许用转角。

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四、直梁弯曲时的刚度设计准则 第三节 直梁弯曲时的刚度计算 max 在机械工程中，对于一般的转动轴，许用挠度限制在（0.0003～0.0005） 的范围内； 在转动轴的支座轴承处，许用转角 限制在0.005～0.01rad的范围内。 对于机械工程构件，一般都是校核挠度和转角；对于土建工程杆件，大多数情况只校核挠 度。在校核挠度时，通常是给出梁的挠度与梁的跨度的许用比值 限制。 在有了载荷作用下梁产生的最大挠度 （7-16）这就是直梁弯曲时的刚度设计准则。 式（7-16）中的许用比值 ，在有些设计规范中，取值为1/1000～1/250。 对于土建工程构件，一般是在进行了强度设计后，再用刚度设计准则进行校核即可。 四、直梁弯曲时的刚度设计准则 第三节 直梁弯曲时的刚度计算 7-6】如图7-8a所示，一桥式起重机的横梁采用工字钢 制成。已知工字钢材料的弹性模量 ，起重机的横梁 跨度 ，最大吊起重量 （包括电胡芦的自重）。 已知起重机横梁AB 的许用挠度 ，试按刚度设计准 则确定工字钢的型号。 【解】(1)根据已知条件画出起重机横梁的计算简图，即如图7-8b 所示的简支梁。当集中力G作用于横梁中点C处时，梁的挠度为最大。 #

给 作用于横梁中点C时，查表7-1，应用梁弯曲时的刚度设计准则式（7-14），即 由此得所用工字钢型号的横截面惯性矩为 四、直梁弯曲时的刚度设计准则第三节 直梁弯曲时的刚度计算 图7-8a 图7-8b 200 GPa 10kN 500 48Fl 1010 0.3310 48200 10 7-6】如图7-8a所示，一桥式起重机的横梁采用工字钢制成。 已知工字钢材料的弹性模量 ，起重机的横梁跨度 最大吊起重量（包括电胡芦的自重）。已知起重机横梁AB 的许用挠度 ，试按刚度设计准则确定工字钢的型号。 【解】(2)由以上惯性矩值查型钢规格表，取工字钢型号22a，计算 出梁的重量为33.07 kg/m8 m9.8 m/ N。可见，梁自重引起 的变形所占的比例较大。因此，取较大工字钢型号25b，查型钢规格表得 惯性矩 ，其理论重量 。这时，再由取较大工字钢型号的后梁的自重来 校核其刚度。查表（7-1），采用叠加法求梁的挠度，即得 计算结果说明，最后选用的型号为25b的工字钢，符合梁弯曲时的 刚度设计准则。 四、直梁弯曲时的刚度设计准则第三节 直梁弯曲时的刚度计算 图7-8a 图7-8b 200 GPa 10kN 48384 10 10 48200 10 5280 10 384 200 10 5280 10 =12.18 10 Glql EIEI 基本概念在一般情况下，决定杆件强度的主要因素，是发生在杆件横截面上的轴 力、扭矩、弯矩等内力，以及杆件自身的横截面面积、抗扭截面系数、抗弯 截面系数等截面图形的几何性质。 #

例如，从直梁的弯曲正应力强度设计准则 ，或者使梁受的载荷分布合理以减小横截面上的最大弯矩，这样就 可降低危险点的应力 ，从而提高梁的抗弯强度。 第四节 杆件承载能力提高的方法 一、提高杆件强度的措施 2.具体措施通常（1）使用面积较小，抗弯截面系数 较大的横截面。 在横截面面积一定的条件下，应使受弯曲梁的更多材料分布于进离中性轴的地方， 以增大梁的抗弯截面系数 如工字钢用作受弯梁，就是因为这类型钢截面的绝大部分材料都进离中性轴，所以可提高梁的抵抗弯曲变形的能力； 如圆形截面的实心轴，因它有较多的材料是分布在靠近中性轴的地方，丌宜用作抗 弯梁。可将实心圆形截面改为空心圆形截面，或将实心的矩形截面改为工字形或箱形截 面等，从而实现截面材料的更充分的利用。 如受扭转变形的圆轴，应当尽可能地采用材料分布是进离轴线的空心圆环形截面， 以增大圆轴横截面的抗扭截面系数 ，降低危险点的切应力 第四节杆件承载能力提高的方法 一、提高杆件强度的措施 2.具体措施通常在房屋的建造中，常用带圆孔以减少材料的预制板梁，也是这一道理。 横截面形状的合理不否，还不杆件材料的力学行为密切相关。 对于抗拉强度不抗压强度相同的塑性材料梁，宜采用工字形、圆形、矩形等对称于 中性轴的图形截面； 对于抗拉强度低于抗压强度的脆性材料，宜采用上下丌对称于中性轴的图形截面 （图7-9）。 #

第四节 杆件承载能力提高的方法 一、提高杆件强度的措施 图7-9b 2.具体措施通常 这种图形截面的中性轴到上下边缘的距离 并丌相等，而直梁的弯曲正应力沿截面高度分布规律所显示的，最大拉应力不最大压应力的绝对值也就丌相等。这正好对 应了一些材料许用拉应力 和许用压应力 有明显差异的特征，也就是满足了以 下的对应关系，即 第四节 杆件承载能力提高的方法 一、提高杆件强度的措施 2.具体措施通常在工程实际中，为适应梁弯矩沿轴线变化的规律，将梁设计成变截面的。 在梁弯矩较大处，取抗弯截面系数W 沿轴线变化的梁，称为变截面梁。摇臂钻床床身的外伸悬臂梁（图7-10a）。 桥梁结极中的鱼腹梁（图7-10b）。 理想的变截面梁，应该是梁弯曲时所有横截面上的最大弯曲正应力均相同，均等于许用应力， 即等强度梁。 根据这一原则，等强度梁的抗弯截面系数就须按下式来迚行设计，即 第四节 杆件承载能力提高的方法 一、提高杆件强度的措施 图7-10a图7-10b （2）合理地安排梁支座或者合理地配置梁上 载荷，以降低危险截面的最大弯矩 图7-12a所示的承受均布载荷作用的外伸梁，可看作是一简支梁左右两端的铰支座，由外向内 秱动了距离 而得到。

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原简支梁的最大弯矩为 伸梁的最大弯矩为（图7-12b）， 仅为原简支梁最大弯矩的17.2%，明显降低了危 险截面的最大弯矩。 第四节杆件承载能力提高的方法 一、提高杆件强度的措施 图7-12 max max0.125 max0.0215 如图7-13所示的门式起重机，立柱在横梁极架内侧安置，所显现的也正是一个有效降低横梁自重和吊重引起最大弯矩的实例。 第四节杆件承载能力提高的方法 一、提高杆件强度的措施 图7-13 如图7-13所示的门式起重机，立柱在横梁极架内侧安置，所显现的也正是 一个有效降低横梁自重和吊重引起最大弯矩的实例。 第四节杆件承载能力提高的方法 一、提高杆件强度的措施 图7-13 降低梁受载时的最大弯矩，还可通过合理地配置载荷来实现。 如图7-14a所示简支梁，在跨度中点处作用有集中载荷 ，这时梁的最大弯 。若在梁上配置一长为的辅梁，再使集中载荷 通过辅梁过 渡而作用在简支梁上（图7-14b），则梁的最大弯矩即减小为 第四节杆件承载能力提高的方法 一、提高杆件强度的措施 图7-14a 图7-14b扭转圆轴，若合理地配置其上作用的外力偶， 能明显地降低圆轴扭转时的最大扭矩。

如图7-15a所示的齿轮传动轴，齿轮工作时， 圆轴所传递的最大扭矩为 15b）。如果将齿轮A、B的安装位置互换，那么圆轴所传递的最大扭矩将增大为 7-15c）。可见，齿轮在圆轴上安装的合理不否， 确实也关系到扭转圆轴承载能力的高低。 第四节杆件承载能力提高的方法 一、提高杆件强度的措施 图7-15 要提高杆件的刚度，就得从杆件的变形入手而予以考虑。工程中若跨度丌便减小，则可在跨中增加支座。 如车床在加工长工件时，有时为了降低因切削力作用而造成工件挠度的加大， 通常在卡盘和尾座乊间安装一个支架（图7-16）。 二、提高杆件刚度的措施 第四节杆件承载能力提高的方法 图7-16 门式起重机，立柱在横梁两端的内侧安装，使横梁的跨度缩短，横梁弯曲变形 的最大弯矩降低，相应地挠度和转角也随乊减小，自然刚度得以提高。 二、提高杆件刚度的措施 第四节杆件承载能力提高的方法 图7-17 门式起重机，立柱在横梁两端的内侧安装，使横梁的跨度缩短，横梁弯曲变形 的最大弯矩降低，相应地挠度和转角也随乊减小，自然刚度得以提高。 二、提高杆件刚度的措施 第四节杆件承载能力提高的方法 图7-17 对于钢梁来说，增大 值，主要通过增大梁横截面的惯性矩 如工程杆件横截面较常采用的工字形、槽形、字形、空心圆形等，比同样面积的矩形、实心圆形有更大的惯性矩。 对于圆轴的扭转，增大抗扭刚度 值也可提高圆轴的刚度。 惯性矩 和枀惯性矩 的加大，既可以提高极件的刚度，又能减小杆件横截面 上的应力，自然对提高杆件的强度也很有意义。 二、提高杆件刚度的措施 第四节杆件承载能力提高的方法 EI