年高中数学2.3抛物线的参数方程同步检测

2023年初中语文2.2.3抛物线的参数多项式同步监测试卷新人教A版必修4-41．(xx·陕西卷)圆柱曲线(t为参数)的焦点座标是．答案：(1,0)2．点P(1,0)到曲线(t为参数，t∈R)上的点的最短距离为()A．0B．1C.D．2答案：B3．若曲线(t为参数)上异于原点的不同两点M1、M2所对应的参数分别是t1、t2，则弦M1M2所在直线的斜率是()A．t1＋t2B．t1－t2C.D.答案：A4．在平面直角座标系中，已知直线l与曲线C的参数多项式分别为l：(s为参数)和C(t为参数)，若l与C相交于A、B两点，则|AB|＝.答案：5．联接原点O和抛物线x2＝2y上的动点M，延长OM到点P，使|OM|＝|MP|，求点P #

的轨迹多项式，并说明它是何种曲线．解析：设抛物线x2＝2y的参数多项式为(t为参数)．∵点M在抛物线上，∴M的座标为(2t,2t2)．设P的座标为(x0，y0)，由|OM|＝|MP|知，M为OP的中点，∴消去参数t，得y0＝x，即点P的轨迹多项式是x2＝4y，表示的曲线为抛物线．6．参数多项式(θ为参数)表示的曲线为()答案：C7．曲线(t为参数)上两点A、B所对应的参数分别为t1、t2，且t1＋t2＝0，则|AB|为()A．|2p(t1－t2)|B．2p(t1－t2)C．2p(t＋t)D．2p(t1－t2)2答案：A8．(xx·江西卷)设曲线C的参数多项式为(t为参数)，若以直角座标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴构建极座标系，则曲线C的极座标多项式为．答

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案：ρcos2θ－sinθ＝09．(xx·深圳一调)在直角座标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴构建极座标系，曲线C1的参数多项式为(t为参数)．曲线C2的极座标多项式为ρsinθ－ρcosθ＝3，则C1与C2交点在直角座标系中的座标为．答案：(2,5)10．(xx·重庆卷)在直角座标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴构建极座标系．若极座标多项式为ρcosθ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝.答案：1611．(xx·江苏卷)在平面直角座标系xOy中，直线l的参数多项式为(t为参数)，曲线C的参数多项式为(θ为参数)，试求直线l与曲线C的普通多项式，并求出它们的公共点的座标．解析：∵直线l的参数多项式为∴消去参数t后

得直线的普通多项式为2x－y－2＝0.①同理得曲线C的普通多项式为y2＝2x.②①②联立多项式组解得它们公共点的座标为(2,2)，.12．已知抛物线y2＝2px(p＞0)过顶点的两弦OA⊥OB，求分别以OA、OB为半径的两圆的另一交点Q的轨迹．解析：设A(2pt，2pt1)，B(2pt，2pt2)，则以OA为半径的圆的多项式为x2＋y2－2ptx－2pt1y＝0，以OB为半径的圆的多项式为x2＋y2－2ptx－2pt2y＝0，即t1、t2为等式2pxt2＋2pty－x2－y2＝0的两根．∴t1t2＝－.又OA⊥OB，∴t1t2＝－1，x2＋y2－2px＝0.∴另一交点Q的轨迹是以(p,0)为圆心，p为直径的圆．13．过抛物线y2＝2px(p＞0)的顶点作两条相互垂直的弦OA、OB(如右图)． #

(1)设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的座标；(2)求弦AB中点M的轨迹过程．解析：(1)由题意得解得xA＝，yA＝.以－取代上式中的k，可列多项式组得xB＝2pk2，yB＝－2pk.∴A，B(2pk2，－2pk)．(2)设M(x，y)，则消掉参数k，得y2＝px－2p2，此即为点M轨迹的普通多项式．14．已知多项式y2－2x－6ysinθ－9cos2θ＋8cosθ＋9＝0.(1)证明：不论θ为什么值，该抛物线顶点的轨迹多项式一定为椭圆；(1)证明：将原方式配方得(y－3sinθ)2＝2(x－4cosθ)抛物线的参数方程，曲线为抛物线，顶点为(4cosθ，3sinθ)抛物线的参数方程，设顶点为Q(x，y)，则(θ为参数)，消掉θ得＋＝1，所以该抛物线顶点的轨迹为椭圆．(2)求抛物线在直线x＝14上截得的弧长的取值范围，

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并求弦取得最值时相应的θ值．(2)解析：将x＝14代入已知多项式，得y2－6ysinθ－9cos2θ＋8cosθ－19＝0，得y＝3sinθ±.由于－8≤8cosθ≤8，所以20≤28－8cosθ≤36.设抛物线在直线x＝14上截得的弧长为l，则l＝|y1－y2|＝2，所以4≤l≤12.当cosθ＝1时，即θ＝2kπ(k∈Z)，lmin＝4；当cosθ＝－1，即θ＝(2k＋1)π(k∈Z)时，lmax＝12.1．已知抛物线的标准多项式，可转化为参数多项式，也可由参数多项式转化为普通多项式．2．在借助参数多项式求焦点座标、准线多项式时，应先判别抛物线的对称轴及开口方向，在多项式的转化过程中要注意参数的范围限制．3．抛物线的参数多项式是一、二次函数方式，抛物线的图形分布和一、二次函数的值域相对应.

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