农村人测量中很有用的面积公式——测量员公式

（题图来自农村人测量土地面积，可以用自己的智能手机就能准确无误地知道了，若侵权必删除）

今天看到了一个很有趣的、在测量中很有用的面积公式——测量员公式。

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它可以根据平面上一个 n -边形（不要求为凸多边形）的各个顶点的坐标来计算它的面积。 #

多边形

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首先需要定义什么是平面上的n -边形（这还不是一个非常简单的事）。

百度百科称：由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连结且不相交所组成的封闭图形叫做多边形（）。

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这个定义可以排除掉如下图形：

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但是其实，这个定义对于“不相交”的说法是含糊的，例如下图——一般我们不认为它是多边形，但是各个边确实在顶点处之外不相交。 #

因此应该可以把 n 多边形定义为： #

在同一平面且不在同一直线上的线段序列 e_1,e_2,\dots,e_n,e_{n+1}=e_1 ，其中 n\geq3 ；e_i 与 e_{i+1} 有且仅有一个公共端点 p_i \left( 1\leq i\leq n \right) ；当 1">\left| i-j \right|>1 时，e_i 与 e_{j} 不存在任何公共点（不仅限于端点）\left( 1\leq i, j\leq n \right) 。测量员公式

假设线段序列 e_1,e_2,\dots,e_n,e_{n+1}=e_1 ，构成平面上的一个 n 多边形 P ，e_i 与 e_{i+1} 的公共端点为 p_i\left( 1\leq i\leq n \right) ， p_i 的平面坐标为 \left( x_i,y_i \right) 。且 p_1\sim p_n 沿逆时针顺序排列。

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于是 P 的面积 S=\frac{1}{2} \begin{} ?x_1 & x_2 & \dots & x_n & x_1 \\ ?y_1 & y_2 & \dots & y_n & y_1 \\ \end{} 。 #

该符号不是行列式，而是表示值 \left( - \right)+\left( - \right)+\dots+\left( - \right) 。 #

这个公式也被称作鞋带公式（ ）——因为乘法过程类似于系鞋带。 #

测量员公式的证明

对 n 进行归纳。

① n=3 时测量员考试测量员考试，参考图如下左图所示；就相当于向量 (x_2-x_1, y_2-y_1) 和 (x_3-x_1, y_3-y_1) 围成的平行四边形面积的一半（如下右图所示）。 #

由“Bat特白：行列式就是体积/面积？——（一）”可知，向量 (x_2-x_1, y_2-y_1) 和 (x_3-x_1, y_3-y_1) 围成的平行四边形面积为 \begin{} x_2-x_1 & x_3 - x_1 \\ ?y_2 - y_1 & y_3 - y_1 \\ \end{} 。 #

简单计算一下： #

\begin{} x_2-x_1 & x_3 - x_1 \\ ?y_2 - y_1 & y_3 - y_1 \\ \end{} = \begin{} x_2-x_1 & x_3 \\ ?y_2 - y_1 & y_3 \\ \end{} - \begin{} x_2-x_1 & x_1 \\ ?y_2 - y_1 & y_1 \\ \end{} = \begin{} x_2 & x_3 \\ ?y_2 & y_3 \\ \end{} - \begin{} x_1 & x_3 \\ y_1 & y_3 \\ \end{} - \begin{} x_2 & x_1 \\ ?y_2 & y_1 \\ \end{} + \begin{} x_1 & x_1 \\ y_1 & y_1 \\ \end{} #

= \begin{} x_2 & x_3 \\ ?y_2 & y_3 \\ \end{} + \begin{} x_3 & x_1 \\ y_3 & y_1 \\ \end{} + \begin{} x_1 & x_2 \\ ?y_2 & y_2 \\ \end{} + 0 = \begin{} ?x_1 & x_2 & x_3 & x_1 \\ ?y_1 & y_2 & y_3 & y_1 \\ \end{} 。

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即知测量员公式对于 n=3 的情况成立。 #

且由此易得 \begin{} ?x_1 & x_2 & x_3 & x_1 \\ ?y_1 & y_2 & y_3 & y_1 \\ \end{} =-\begin{} ?x_1 & x_3 & x_2 & x_1 \\ ?y_1 & y_3 & y_2 & y_1 \\ \end{} 。 #

? 假设测量员公式对于 n=k\geq3 成立。现考虑 n=k+1 的情况。 #

设 p_1\sim p_k 形成多边形 Q （可能是下图左，也有可能是下图右）。

继续分情况讨论

?顶点 v_{k+1} 处于 Q 外部（参考下左图）。根据之前对多边形的定义可知不会发生下右图的情况。

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此时 P 的面积等于 Q 的面积加上三角形 v_1，v_k，v_{k+1} 的面积。 #

因此 P 的面积等于 S=\frac{1}{2} \begin{} ?x_1 & x_2 & \dots & x_k & x_1 \\ ?y_1 & y_2 & \dots & y_k & y_1 \\ \end{} + \frac{1}{2} \begin{} ?x_1 & x_k & x_{k+1} & x_1\\ ?y_1 & y_k & y_{k+1} & y_1\\ \end{} ，则 S=\frac{1}{2} \left( \begin{} ?x_1 & x_2 & \dots & x_k \\ ?y_1 & y_2 & \dots & y_k \\ \end{} + \begin{} x_k & x_{1} \\ y_k & y_{1} \\ \end{} + \begin{} ?x_1 & x_k \\ ?y_1 & y_k \\ \end{} + \begin{} x_k & x_{k+1} & x_1\\ y_k & y_{k+1} & y_1\\ \end{} \right) #

=\frac{1}{2} \left( \begin{} ?x_1 & x_2 & \dots & x_k \\ ?y_1 & y_2 & \dots & y_k \\ \end{} + \begin{} x_k & x_{k+1} & x_1\\ y_k & y_{k+1} & y_1\\ \end{} \right) =\frac{1}{2} \begin{} ?x_1 & x_2 & \dots & x_k & x_{k+1} & x_1 \\ ?y_1 & y_2 & \dots & y_k & y_{k+1} & y_1\\ \end{} 。

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?顶点 v_{k+1} 处于 Q 内部（参考下图）。根据之前对多边形的定义可知不会发生下右图的情况。

此时 P 的面积等于 Q 的面积减去三角形 v_1，v_{k+1}，v_k 的面积。

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因此 P 的面积等于 S=\frac{1}{2} \begin{} ?x_1 & x_2 & \dots & x_k & x_1 \\ ?y_1 & y_2 & \dots & y_k & y_1 \\ \end{} - \frac{1}{2} \begin{} ?x_1 & x_{k+1} & x_k & x_1\\ ?y_1 & y_{k+1} & y_k & y_1\\ \end{} ，则 S=\frac{1}{2} \begin{} ?x_1 & x_2 & \dots & x_k & x_1 \\ ?y_1 & y_2 & \dots & y_k & y_1 \\ \end{} + \frac{1}{2} \begin{} ?x_1 & x_k & x_{k+1} & x_1\\ ?y_1 & y_k & y_{k+1} & y_1\\ \end{} =\frac{1}{2} \begin{} ?x_1 & x_2 & \dots & x_k & x_{k+1} & x_1 \\ ?y_1 & y_2 & \dots & y_k & y_{k+1} & y_1\\ \end{} 。 #

?顶点 v_{k+1} 处于边 v_1 v_k 上。只要注意到三角形 v_1，v_{k+1}，v_k 的面积为0即可。 #

应用

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我在网上看到了一篇文章：

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可能就是使用测量员公式计算面积的。 #