高中数学必做100题(二)：一组推导的公式

(二)。新课: 探究:对于一组具有线性相关关系的数据: () , () 。-。 ()。 我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为:(1)(2) 其中。()成为样本点的中心。 注:回归直线过样本中心。 你能推导出这两个计算公式吗? 从我们已经学过的知识知道。截距和斜率分别是使取到最小值时的值。 由于注意到。在上式中。后两项和无关。而前两项为非负数。因此要使Q取得最小值。当且仅当前两项的值均为0。即有 这正是我们所要推导的公式． 下面我们从另一个角度来推导的公式． 人教A版选修2-2P37习题1。4A组第4题: 用测量工具测量某物体的长度。由于工具的精度以及测量技术的原因。测得n个数据 。 证明:用这个数据的平均值 表示这个物体的长度。能使这n个数据的方差 最小． 思考:这个结果说明了什么?通过这个问题。你能说明最小二乘法的基本原理吗? 证明:由于。所以 。 令, 得。 可以得到。 是函数的极小值点。也是最小值点． 这个结果说明。用n个数据的平均值表示这个物体的长度是合理的。这就是最小二乘法的基本原理． 由最小二乘法的基本原理即得 定理 设,,则(*) 当且仅当时取等号。

(*)式说明, 是任何一个实数与的差的平方的平均数中最小的数。从而说明了方差具有最小性,也即定义标准差的合理性。 下面借助(*)式求的最小值。 , 由(*)式知,当且仅当,且时, 达到最小值 。 由此得到,其中是回归直线的斜率赢得值法的三个基本参数是什么,是截距。 借助和配方法赢得值法的三个基本参数是什么,我们给出了人教A版必修3的第二章统计第三节变量间的相关关系中回归直线方程的一个合理的解释。 1。回归分析的基本步骤: (1) 画出两个变量的散点图。 (2) 求回归直线方程。 (3) 用回归直线方程进行预报。 下面我们通过案例。进一步学习回归分析的基本思想及其应用． 2。举例: 例1。 从某大学中随机选取 8 名女大学生。其身高和体重数据如表编号身高/cm70体重/求根据女大学生的身高预报体重的回归方程。并预报一名身高为 172 cm 的女大学生的体重． 解:由于问题中要求根据身高预报体重。因此选取身高为自变量 x 。体重为因变量 y 。 作散点图 从图3。 1一1 中可以看出。样本点呈条状分布。

身高和体重有比较好的线性相关关系。因此可以用线性回归方程来近似刻画它们之间的关系． 根据探究中的公式 。可以得到。 于是得到回归方程 。 因此。对于身高172 cm 的女大学生。由回归方程可以预报其体重为 。 是斜率的估计值。说明身高 x 每增加1个单位时。体重y就增加0。849 位。这表明体重与身高具有正的线性相关关系．如何描述它们之间线性相关关系的强弱? 在必修 3 中。我们介绍了用相关系数,来衡量两个变量之间线性相关关系的方法．本相关系数的具体计算公式为 当r>0时。表明两个变量正相关,当r0 正相关。 R【】

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