“一元一次方程”的教学上教师一定要重视！

吴海娟：吉林大学附中教师，东北师范大学硕士生，长春市名师工作室主持人，吉林省教学新秀，长春市首届明星教师、骨干教师、优秀班主任，2023年长春市优秀班主任中考数学命题组，中考人才库成员。 获第七届全国青年教师公开课一等奖、东北地区精品课程一等奖。 曾任长春市集体备课讲师。 多次在内蒙古、安徽等地为国培教师做专题讲座，受到好评。 深受业界好评。 #

方程是数学学习中最重要的内容，它贯穿整个数学体系。 一变量的线性方程是初中数学中最简单、最基本的代数方程。 它的掌握和融合直接影响后续课程的进一步学习，对今后阶段的数学学习具有重要意义。 单变量线性方程的解看似简单，但对于初学者，尤其是理解能力较弱的学生来说，还是有一定难度。 它是解方程的基础，因此教师必须重视单变量线性方程的解。 。 #

1.教师解方程理解深度调查 #

长期从事初中教学的数学教师，他们的专业视野会逐渐萎缩，忘记知识体系中一些最核心的知识，从而导致教学的局限性。 相当多的老师对“解方程”的理解很狭隘。 当然，这样的老师教出来的学生并不会真正理解“解方程”。 #

笔者曾向7位初中老师讲述了以下案例，调查他们的意见：

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某学校一年级数学课上，老师在黑板上写了一道题：“解方程 #

”。老师写完“5”的那一刻，一个男孩喊道“ #

老师似乎对学生们不守规矩的回答有些不满，于是就发生了下面的师生对话。 #

师：那你说说你是怎么解决的？

#

健康：因为 #

，所以 #

。 #

师：你的解法是错误的。 你应该按照步骤解决。 首先看方程有没有分母？ #

学生：没有。 #

师：接下来我们应该看什么？ #

学生：……（困惑）。

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老师转而问其他学生，按照移动物品、合并相似物品、将系数变为1的步骤解决问题。然后，老师问男孩：“你现在能解这个方程吗？” 学生点点头，低声道：“是的。” #

我们来分析一下男孩的解决方案。 显然，他是通过观察做到的，这说明他有很好的数感，或者说有很好的数学直觉，这是数学思维的一个非常重要的品质。

他的解决方案有什么问题吗？ 不。 #

什么是解方程？ 求方程解的运算过程称为求解方程。 那么方程的解是什么呢？ 使方程左右两边的值相等的未知数的值称为方程的解。 老师们都很熟悉这两个概念。

我们知道：对于方程

，什么时候

#

当，方程

只有一种解决方案。 因此，方程解的存在唯一性不存在问题，2只是使左右两边的值相等。 毫无疑问，2就是这个方程的解。 #

应该说，这个方程的解题，男孩用猜想和验证的方式，完美地解决了。 否认它是没有道理的。 #

这是教师僵化教学的典型案例。 然而，在笔者调查的7位老师中，只有1位认为男孩的解决方案是正确的，其余6位则认为结果没有“解决”，因此对学生的做法并不确定。 即使在作者解释了真相之后，仍然有一个人坚持：即使理论上没有问题，我也不会这样教学生。 中考没有拿到分数怎么办？

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一方面，这反映出一些教师的僵化和教条，过分强调一些非数学要点。 另一方面也反映出一些教师对数学知识的理解比较肤浅，没有深入的思考，不能从系统的知识层面处理初中数学内容。 求解方程的步骤不宜过于绝对化，而应为以后的图像法、逼近法等近似求解方法保留一定的空间。 如果这些知识根本没有“登记”在教师的头脑中，那只能说明他的教学视野狭窄。 #

此外一元一次方程的解法，这个案例也在一定程度上反映出一些教师教学理念的滞后。 不要简单地否定学生的“异质”思维，而要思考其是否有合理的成分。 非常规往往是创造性思维的萌芽。

数学特级教师孙伟刚先生生前特别强调“数学教学内容要从系统的角度来处理”。 这种对教师数学技能和数学素养的殷切要求也应该成为每一位中学数学教师的教学理想。 #

2、初中教材中方程组同解定理是如何呈现的 #

1、初中数学中使用的两个方程同解定理 #

初中方程教学的核心内容是解方程，而解释方程首先要解释方程的理论基础，即方程同解定理。 初中数学中，经常涉及到以下两个定理：

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定理1 如果函数A(x)对于方程f(x)=g(x)的域M有意义，则方程f(x)=g(x)与方程f(x)相同+A(x)=g(x)＋A(x) 有相同的解。

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定理 2 如果函数 A(x) 对于方程 f(x)=g(x) 的域 M 有意义且不等于 0，则方程 f(x)=g(x) 与方程 f(x)A(x )=g(x)A(x) 有相同的解。 #

2.当前大多数教科书处理方程同解定理的方式 #

现行版本的教材在初一年级时处理同解定理1和定理2，以天平为模型，用方程组的性质代替方程组同解定理。 这也是国外中学教材中常用的方法。 #

其中，以人民教育出版社出版的新教材最具代表性： #

等式的性质 1 等式两边加（或减）相同的数（或式），结果仍然相同。 #

等式2 等式两边同时乘或除同一个不为0的数，结果仍然相同。 #

三、华东师范大学版教材的不同处理 #

然而一元一次方程的解法，也有一些教科书不使用方程的性质，而是以公理的形式给出方程的同解定理。 比如下面这本华东师范大学教材也是从平衡出发，将方程的变形与天平的平衡联系起来。

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就职： #

如果在方程两边加上或减去相同的数字或整数，方程的解保持不变。

如果方程两边都乘以或除以同一个非零数，则方程的解不会改变。 #

3.关于一变量线性方程的解

内地和港台地区都非常重视求解一变量线性方程组的教学，特别注重解题步骤的编程。 尤其是在大陆，规定非常详细，要求学生遵循以下步骤：

去掉分母→去掉括号→移动项→合并相似项→将系数改为1。 #

下面笔者设计的流程图基本反映了目前多版本教材关于一变量线性方程组求解的教学思路，程序化、模式化、指令清晰、可操作性强。

这个流程图体现了将方程解为运算规则的过程中隐藏的“还原思想”。 通过一步一步的指导，学生只要不犯计算错误，就能得出正确的答案。

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这种模式典型地体现了我国基础数学教育的特点，强调基础知识和基本技能。

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4、一变量线性方程过程解的实证研究

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为了了解求解一变量线性方程组的程序化教学是否有利于提高学生解方程的准确性，笔者进行了微教学实验。 #

实验假设：在求解一变量线性方程组的教学中加强程序化求解方式，有利于提高学生求解一变量线性方程组的准确性。 #

对象：作者所教两个班的学生。

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自变量：求解一个变量的线性方程的不同要求。

因变量：学生求解单变量二次方程的准确度。

控制变量：教师、教材、学生、教学环境。

实验设计： #

笔者所教的两个班级分别作为实验班和对比班。 两个班都是普通班，按照入学时的成绩分年级。 学生人数、男女生比例、平均成绩、通过率、优秀率等指标相似。 两个班各科老师都是相同的。 #

笔者在实验课的教学中会强调解方程的步骤，严格要求学生按照上述过程的顺序完成解方程的过程。

对比课上只讲了约简，但没有强调或刻意总结解方程的步骤。 鼓励学生不拘一格并积极探索不同的解决方案。 #

在完成整个单元的一变量线性方程组求解后，发放测试问卷，以了解实验班和对照班的成绩是否因教学中解方程的要求不同而存在显着差异。

问卷共10题，涵盖了求解一变量线性方程的主要题型。 试题难度按照5：4：1分配，即基础题5道，中级题4道，灵活题1道。 #

调查问卷如下：

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请在 20 分钟内完成以下 10 道解方程题。

(1) #

; (2) #

; #

(3) #

；（4）

; #

(5)

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; #

(6)

; #

(7)

;

(8) #

;

(9) #

; #

(10) #

。 #

实验结果：

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问题1 #

问题2

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问题3 #

问题4 #

问题5 #

正确人数

正确人数

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正确人数 #

正确人数

#

正确人数

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实验班

40

100 #

40

100

39 #

97.5

39 #

97.5 #

37

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92.5 #

比较类

38 #

100 #

38 #

100 #

37 #

97.3 #

37 #

97.3

35 #

92.1 #

问题6 #

问题7 #

问题8 #

问题9

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问题10 #

正确人数

正确人数

正确人数

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正确人数

#

正确人数

实验班

36 #

90.0

#

34 #

85.0 #

35

#

87.5 #

33 #

82.5 #

26 #

65.0 #

比较类 #

34

84.2 #

30

#

78.9 #

30 #

78.9 #

28

73.6 #

28 #

73.6 #

结果分析： #

（1）实验班和对照班对问题1至问题5的回答没有明显差异，最多仅相差0.4%。 这表明求解编程对简单方程的学习影响不大。 #

（2）实验班与对照班在第6题至第9题的答案上存在一定差距，特别是第7题和第8题，差距十分明显。 实验班比对照班好近10个百分点。 从论文来看，由于实验班大部分学生按照程序规定一步一步回答问题，思路清晰，步骤完整，错误率较低。 但对比班学生出现计算马虎等低级错误的比例相对较高。 说明编程方程求解虽然机械、死板，但有助于学生牢牢掌握求解一变量线性方程组的基本技能。 #

（3）实验班和对照班对第10题的答案也存在差异，但情况相反。 对比班相对优于实验班。 这是一个可以根据系数的特点灵活选择求解方法的问题。 两个班的学生都没有见过这样的题，笔者特地留在这里准备这次测试。 #

这个方程的简单解法应该是：去掉括号→合并相似项→去掉方括号→合并相似项→去掉分母→合并相似项→将系数改为1。 #

这个过程与上面的“规范”流程图有很大不同。

由于比较班的学生不受头脑中程序求解方法的束缚，因此可以关注系数的特点。 然而，实验班相当一部分学生面临着不熟悉的问题，没有观察系数特征的意识和经验。 他们依然不假思索地按照流程图的顺序，有规律地操作。 这个过程既繁琐又容易出错。 #

这是由编程方程求解产生的负传递。 #

5. 结论

方程是广泛使用的数学工具，因此单变量线性方程解的教学尤为重要。 在求解一变量线性方程组的教学过程中，教师应为学生打牢基础，并不断进行教学反思和改进。 通过对比训练、错误题展示、学生自编题等形式，鼓励学生用自己的方法解方程，灵活运用解方程的步骤，准确解题，培养学生思维逻辑。