平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P（x,y）

1．平面直角座标系中的座标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角座标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角座标系中的座标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极座标系的概念(1)极座标系如图所示,在平面内取一个定点,称作极点,自极点引一条射线,称作极轴;再选取一个宽度单位,一个角度单位(一般取弧度)及其正方向(一般取逆秒针方向),这样就构建了一个极座标系.注:极座标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角座标系以相互垂直的两条数轴为几何背景;平面直角座标系内的点与座标能完善一一对应的关系,而极座标系则不可.但极座标系和平面直角座标系都是平面座标系.(2)极座标设M是平面内一点,极点与点M的距离|OM|称作点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角称作点M的极角,记为.有序数对称作点M的极座标,记作.通常地,不作特殊说明时,我们觉得可取任意实数.非常地,当点在极点时,它的极座标为(0,)(∈R).和直角座标不同,平面内一个点的极座标有无数种表示.假如规定,这么除极点外,平面内的点可用惟一的极座标表示;同时,极座标表示的点也是惟一确定的.3.极座标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角座标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种座标系中取相同的宽度单位,如图所示:(2)互化公式:设是座标平面内任意一点,它的直角座标是,极座标是(),于是极座标与直角坐标的互化公式如表:点直角座标极座标互化公式在通常情况下,由确定角时,可

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依据点所在的象限最小正角.4.常见曲线的极座标多项式曲线图形极座标多项式圆心在极点,直径为的圆圆心为,直径为的圆圆心为,直径为的圆过极点,倾斜角为的直线(1)(2)过点,与极轴垂直的直线过点,与极轴平行的直线注:因为平面上点的极坐标的表示方式不惟一,即都表示同一点的座标,这与点的直角坐标的惟一性显著不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示方式,只要求起码有一个能满足极座标多项式即可.诸如对于极座标多项式点可以表示为等多种方式,其中,只有的极座标满足等式.二、参数多项式1.参数多项式的概念通常地,在平面直角座标系中,倘若曲线上任意一点的座标都是某个变数的函数①,但是对于的每一个容许值,由多项式组①所确定的点都在这条曲线上,这么多项式①就称作这条曲线的参数多项式,联系变数的变数称作参变数,简称参数,相对于参数多项式而言,直接给出点的座标间关系的等式称作普通多项式.2.参数多项式和普通多项式的互化(1)曲线的参数多项式和普通多项式是曲线多项式的不同方式,通常地可以通过消掉参数而从参数多项式得到普通多项式.(2)假如晓得变数中的一个与参数的关系,比如,把它代入普通多项式,求出另一个变数与参数的关系,这么就是曲线的参数多项式,在参数多项式与普通多项式的互化中,必须使的取值范围保持一致.注：普通多项式化为参数多项式，参数多项式的方式不一定惟一。应用参数多项式解轨迹问题，关键在于适当地设参数，假如选用的参数不同，这么所求得的曲线的参数多项式的方式也不同。3．圆的参数如图所示极坐标方程公式，设圆的直径为极坐标方程公式，点从初始位置出发，

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按逆秒针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。这就是圆心在原点，直径为的圆的参数多项式，其中的几何意义是转过的角度。圆心为，直径为的圆的普通多项式是，它的参数多项式为：。4．椭圆的参数多项式以座标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准多项式为其参数多项式为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准多项式是其参数多项式为其中参数仍为离心角，一般规定参数的范围为∈[0，2）。注：椭圆的参数多项式中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，不仅在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在到的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当时，相应地也有，在其他象限内类似。5．双曲线的参数多项式以座标原点为中心，焦点在轴上的双曲线的标准议题为其参数多项式为，其中焦点在轴上的双曲线的标准多项式是其参数多项式为以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。6．抛物线的参数多项式以座标原点为顶点，开口往右的抛物线的参数多项式为7．直线的参数多项式经过点，倾斜角为的直线的普通多项式是而过，倾斜角为的直线的参数多项式为。注：直线参数多项式中参数的几何意义：过定点，倾斜角为的直线的参数多项式为，其中表示直线上以定点为起点，任一点为终点的有向线段的数目，当点在上方时，＞0；当点在下方时，＜0；当点与重合时，=0。我们也可以把参数理解为以为原点，直线向下的方向为正方向的数轴上的点的座标，其单位宽度与原直角座标系中的单位宽度相同。整理为word格式整理为word格式整理为word格式